2015년 제52회 세무사 1차 시험 재정학 26번

정답과 결론

정답은 ③이다. 대피동굴은 두 사람이 함께 쓰는 공공재이므로 두 사람의 한계편익을 수직으로 더한 값이 한계비용과 같아지는 깊이에서 최적이 되며, 그 깊이는 40미터다.

출제 포인트

공공재의 효율적 공급 조건인 사무엘슨 조건을 계산에 적용하는 문제다. 사용재라면 각자가 소비량을 따로 고르지만, 공공재인 동굴은 깊이가 하나로 정해지면 두 사람 모두 그 깊이를 똑같이 누린다. 따라서 깊이를 1미터 더 팔 때의 사회적 편익은 A와 B의 한계편익을 더한 값이다. 이 합이 깊이 1미터를 더 파는 한계비용과 같아지는 점이 최적 깊이다.

총효용함수와 총비용함수가 주어졌으므로 각각을 깊이 D로 미분해 한계편익과 한계비용을 구하는 것이 첫 단계다. 총효용함수의 상수항(50과 30)과 총비용의 고정비(100)는 미분하면 사라지므로 최적 깊이에 영향을 주지 않는다.

선택지별 검토

먼저 식을 세운다. A의 한계편익은 100 − 2D, B의 한계편익은 40 − 0.5D 이고, 둘을 더한 사회적 한계편익은 140 − 2.5D 이다. 한계비용은 총비용 0.5D² 을 미분한 D 이다. 사무엘슨 조건 140 − 2.5D = D 를 풀면 3.5D = 140 이므로 D 는 140 ÷ 3.5 = 40 이다.

③ 40미터 — 옳다. 이 깊이에서 A의 한계편익은 100 − 2 × 40 = 20, B의 한계편익은 40 − 0.5 × 40 = 20 이고, 합계 20 + 20 = 40 은 한계비용 40 과 정확히 같다. 더 파면 추가 비용이 추가 편익보다 크고, 덜 파면 추가 편익을 놓친다.

① 20미터 — 틀리다. 이 깊이에서 사회적 한계편익은 140 − 2.5 × 20 = 90 인데 한계비용은 20 에 불과하다. 편익이 비용보다 훨씬 크므로 더 파야 사회적 순편익이 늘어난다. 최적 깊이보다 얕은 지점이다.

② 30미터 — 틀리다. 사회적 한계편익은 140 − 2.5 × 30 = 65, 한계비용은 30 이다. 여전히 편익이 비용을 넘으므로 깊이를 늘려야 한다. 최적보다 얕다.

④ 50미터 — 틀리다. 사회적 한계편익은 140 − 2.5 × 50 = 15 인데 한계비용은 50 이다. 마지막으로 판 몇 미터는 비용이 편익보다 크므로 사회적 순편익을 줄인다. 이 깊이에서 A 혼자의 한계편익은 0이 되지만, 그 점은 공공재의 최적 조건과 아무 관계가 없다. 이 선택지의 산출 근거는 계산 경로를 참고하십시오.

⑤ 70미터 — 틀리다. 이 깊이에서는 합계 한계편익이 2.5 × 70 − 140 = 35 만큼 음(−)이 되어, 더 파는 일이 두 사람의 효용을 오히려 깎는다. 한계비용 70 까지 고려하면 최적과 가장 멀리 떨어진 선택지다.

근거

공공재의 효율적 공급 조건(사무엘슨 조건)은 모든 소비자의 한계편익(한계대체율)의 합이 한계비용(한계변환율)과 같아지는 것이다. 사용재는 수량을 수평으로 더하지만 공공재는 같은 수량에서 편익을 수직으로 더한다는 점이 핵심이다. 같은 결과는 사회적 순편익 UA + UB − C 를 D 로 미분해 0으로 놓아도 얻는다. 미분하면 100 − 2D + 40 − 0.5D − D 이고, 이것이 0이 되는 깊이가 40 이다.

함정 정리

• 한계편익을 수평으로 더하면(사용재처럼 수량을 더하면) 전혀 다른 답이 나온다. 공공재는 "같은 깊이에서 편익을 더한다"는 점을 놓치지 않아야 한다.
• 총비용의 고정비 100 과 효용함수의 상수항은 한계 조건에 들어가지 않는다. 이 숫자들로 무언가를 계산하려 하면 길을 잃는다.
• 한 사람의 한계편익만 한계비용과 맞추거나, 한 사람의 한계편익이 0이 되는 포화점을 최적으로 보는 것은 공공재의 "합산" 구조를 무시한 것이다.
• 비용함수 0.5D² 을 미분하면 D 가 된다. 계수 0.5 를 그대로 남겨 한계비용을 0.5D 로 쓰는 미분 실수에도 주의한다.
• 최적점에서 두 사람의 한계편익이 우연히 20 으로 같지만, 이것은 이 문제의 수치에서 나온 결과일 뿐 일반적인 조건이 아니다. 조건은 "합이 한계비용과 같다"이다.
• 선택지 다섯 개를 하나씩 대입해 사회적 한계편익과 한계비용의 대소를 비교하면, 최적보다 얕은 깊이에서는 편익이 크고 깊은 깊이에서는 비용이 크다는 부호가 40 을 경계로 바뀌는 것을 확인할 수 있다. 이 부호 확인이 계산 실수를 잡는 가장 빠른 검산이다.